契約書に押印がないのですが、契約は成立しているのでしょうか？

有効に成立します。契約書としての意義も、大きくは異なりません。

　令和２年６月１９日、内閣府などが「押印についてのＱ＆Ａ 」（以下「ＱＡ」といいます。）を公開し、契約書作成にあたり押印は必ずしも必要ではないとの見解を示しました。ＱＡは新たなルールを定めたものではなく、これまでの法解釈をまとめたものです。
　まず、契約は、あくまでも当事者の意思の合致により成立するものであり、契約書の作成が必須というわけではありません（ＱＡ問１）。ではなぜ契約書が取引社会において重要な役割を担っているのかというと、証拠としての価値が高いからです。
　契約書などの書面を証拠にする場合、そもそも、その文書に表示されている作成者によってその文書が作成されていなければなりません。これを「文書の成立の真正」といいます。
　そして、本人による押印がある場合、文書の成立の真正が推定されます（民事訴訟法２２８条４項）。そのため、本人による押印があると、裁判において証明をする負担が軽減されるわけです（ＱＡ問２）。他方、本人による押印がなくとも、別の方法で文書の成立の真正を証明することもできます（ＱＡ問３）。
　さて、署名がある文書は、民事訴訟法２２８条４項により、本人の意思に基づく押印と同様に成立の真正が推定されます。そのため、代表者の署名がある契約書は、その成立の真正が推定される、つまり、証拠として扱うことができるわけです。
　では、角印（法務局に登録されていない法人印）や認印ではどうでしょうか。実は、これも丸印（法務局に登録した法人印）や実印と同様の扱いを受け、文書の成立の真正が推定されます。もっとも、丸印や実印に関しては、印鑑登録証明書があれば、それが本人による押印があったことが容易に立証できますが、角印や認印に関しては、相手方が「そんな角印は当社のものではない」などと争ってくると、これに反論するべく何らかの立証をしなければなりません（ＱＡ問６）。このように、立証の難易度が変わり得るものの、角印や実印による契約書も証拠として扱うことはできます。