飲食店を経営しています。アルバイトの留学生が卒業するのでそのまま雇用したいのですが可能でしょうか？

技能試験と日本語能力試験に合格すれば在留資格「特定技能」が考えられます。

その留学生の方をこれまでと同様にフロア業務で雇用したい、ということでしたら、技能試験と日本語能力試験の双方に合格すれば在留資格「特定技能」に変更して正社員として雇用することが可能です。
外食業の技能試験は、一般社団法人外国人食品産業技能評価機構が行います。飲食物の調理、接客及び店舗管理の業務を行うのに必要な能力を図るためのものです（一般社団法人日本フードサービス協会のＨＰに学習用テキストが掲載されています）。
日本語能力については、「国際交流基金日本語基礎テスト」か「日本語能力試験（Ｎ４以上）」のどちらかに合格する必要があります。日本語能力試験は年２回の開催ですが日本語基礎テストの方が回数が多いため、こちらの方を受験される方が多いようです。
当該留学生の方が上記二つの試験のいずれかに合格すれば、在留資格「特定技能」への在留資格変更が可能です。ただしその他の要件として、①日本人と同等以上の報酬を支払うこと、②その留学生がスムーズに日本で生活をするための支援を会社が行うこと、会社が支援できない場合は登録支援機関に支援を委託すること、③会社があらかじめ指定された協議会に加入すること等があります。協議会については農林水産省のＨＰに「食品産業特定技能競技会」について掲載されています。
なお、学校を中退、除籍処分となった外国人については試験に合格していたとしても日本に滞在したまま「特定技能」へ在留資格を変更することは原則として認められていないのでご注意ください。
また、「特定技能１号」は最大５年間しか認められていません。それ以上日本で働くことを希望する場合は「特定技能２号」に在留資格を変更することが必要です。特定技能２号に在留資格を変更するには、「外食業特定技能2号技能測定試験」と「日本語能力試験」のＮ３以上の合格が要件となります。一方、フロア業務ではなく、例えばマネージメント業務などでの雇用でしたら、留学生の方の学歴によっては別の在留資格が可能な場合もあります。
「特定技能」への変更には多くの資料の添付が必要です。あらかじめ専門家へのご相談をおすすめします。